Per Anhalter ist vielleicht zu unsicher, aber durch eine Mitfahrzentrale mit Registrierung ist es womöglich machbar. Es gibt ja viele Bayern, welche mittlerweile in der Schweiz arbeiten und regelmässig in den Raum München fahren.
Die "normalste" Variante wäre mit Zug, womöglich findest Du ein Super-Spar-Angebot via München-Stuttgart-Schaffhausen-Basel (sind alles Strecken der Deutschen Bahn) bzw. schlicht eine Wochenendkarte für das ganze DB-Netz oder sowas in der Art. Musst halt gucken, was gerade an Aktionen der Deutschen Bahn verfügbar ist.
Gerade gesehen: es gibt z.B. ein Baden-Württemberg-Tagesticket für beliebige Fahrten in BW (bis nach Basel) für EUR 18. Dann brauchst Du nur noch von München ins BW zu gelangen...
Es gäbe auch Direktflüge der Lufthansa von München nach Basel, mit sehr viel Glück auch zum Last-Minute-Tarif (sonst eher teuer, weil für Geschäftsreisende). Du kannst natürlich auch einen Billigflug nach Zürich nehmen und dann die Bahn nach Basel, allerdings ist das Ticket für die Schweizer Bahnstrecke ohne Rabatte dann recht teuer.